进制转换
我们都知道计算机底层数值都是二进制的（由高低电平表示）。而我们生活中常用十进制，同时一些场合下也会用16进制。因此首先我们需要知道进制之间如何转换。
二进制转十六进制
二进制数以小数点为界，整数部分从小数点从左到右数，每4位分为一组，不足四位的时候在左端补0；小数部分从小数点从右往左数，每四位为一组，不足四位则在右端补0。然后每组按照二进制数与十六进制数对应关系转换。因为2的四次方为16，所以十六进制的每单个数都可以用四位二进制数表示出来。
十六进制转二进制
直接每位十六进制数都对应转换为四位二进制数即可。
二进制转十进制
十进制转二进制
十进制整数
十进制数不断除二，记录下每一次的余数，直到商为0。先得到的余数是二进制中的低位，后得到的是二进制整数中的高位。
十进制小数
小数位不断乘二，记录下每一次结果的整数位（当然只有0或1），直到小数位为0。先得到的整数位是二进制中的高位，后得到的整数位是二进制中的低位。
因此记录下来的二进制数为0.0101。即
当然存在无法达到小数位为0的情况。视精度进行取舍，假如要求五位精度，求到第六位看第六位是0还是1，如果是0直接舍去，如果是1则在第五位进位。
补码制表示二进制数
上面我们讨论的二进制数都是无符号数，也就是无法用来表示这个数的正负。容易得知无符号数的表示范围是
我们思考一种简单的标志正负的方式，如果用n位来表示一个数，那么我们用最高位来标志这个数的正负，一般最高位为0代表正数，最高位为1代表负数。此时最高位我们称为符号位,剩余的n-1位称为数值位。带有符号的数我们称之为符号数。
考虑此时的n位二进制数的表示范围，以四位为例，对正数而言最大为0111，负数的表示范围为1111（-8）到1001（-1），此时0有1000和0000两种表示方法。也就是表示范围为
但是这样做会增加运算逻辑的复杂程度，因为加法器要先检查操作，然后再检查二者的符号：符号相同则将二者数值位相加然后赋给结果相同的符号位；如果符号不同还需要比较二者数值部分的大小，用较大的减去较小的，然后赋给结果较大的操作数的符号。
因此我们引进补码制来表示符号数。实际中的计算机符号数都是用补码制表示的。所以以后符号数就等同于补码制二进制数。
补码运算
我们先来了解一下补码：一个n位二进制数D的补码为
求补码的运算我们称之为补码运算。
补码运算可以变形
而$2^n-1-D$实际就是n位全1二进制数减去D，相当于对D取反。也就是说求D的补码的过程实际可以变成求D的补码然后再加一。这个运算过程对计算机硬件来说比减法容易得多。
补码制表示规则和性质
在补码制下同样用最高位表示符号，且0为正，1为负。
十进制数3的四位补码制二进制数同样为0011，而补码制下的负数为正数的补码。也就是-3表示为
如果你对补码制下的负数再进行补码运算，会得到该数的相反数，也就是变回正数。
这使得在补码制下正数与负数的相互转换非常方便，一对相反数互为对方的补码。
考虑n位补码制二进制数的表示范围，以4位为例：
正数最大为0111
负数可以从 1000（-8）～1111（-1）注意和非补码制的区别
0为0000，且0的补码仍为0000。
也就是
补码制下的拓展
对于无符号数，由于没有符号，从4位二进制数拓展到8位只需要在左端加四个0。称这种拓展方式位零拓展
对于符号数，我们需要考虑它的符号，拓展的规则是直接按照它的符号位进行拓展，也就是1101拓展到8位就表示为了11111101。
我们可以求一下拓展前后的补码验证一下，前者的补码为0011，也就是3，后者为00000011，也是3。
对符号数的位数拓展方式我们称为符号拓展
运算
加减
补码制的提出是为了简化运算。在补码制下运算不需要考虑符号位，符号位直接参与运算即可。并且如果操作为减法，那么就对后面的操作数求补码然后按加法运算即可。而且如果最高位产生了进位直接舍去最高位进位即可。
溢出
运算正确的结果超出了给定的取值范围，就是溢出。这里给出的取值范围就是n位二进制补码表示的范围。
最高位进位和溢出没有直接关系，可以证明异号相加不会溢出，同号相加才有可能溢出。
如
正确结果10超出了四位符号数的表示范围。
判断溢出的方法很简单，如果两个相同符号的数相加，运算结果的符号位变化，那么就可以判断产生了溢出。
乘除
略
逻辑运算
移位
总位数不变
左移:右端直接补0，1110左移两位—1000
逻辑右移：左端直接补0，1110逻辑右移两位—0011
算术右移：左端根据符号位补，1110算术右移—1111
左移和算术右移本质为乘2的n次方（不丢有效位1的情况下）
按位运算
省
浮点数的表示和运算
我们现在开始考虑如何来表示小数。
首先确定正负，我们还是取最高位为符号位，值用S表示。
先不考虑小数点在哪里，先将这个值用无符号数的方式表示出来，这个过程中我们需要确定我们要取多少位，也就是有效长度。
假设我们取a位有效长度，然后用a位的空间存储这个有效值A。
最后我们通过移位的方式来确定小数点在哪里，实现方法是在后面用n位的长度用补码的方式存一个阶数,小数点从有效值的最右端根据阶数的值E移位。
根据标准二进制浮点数运算标准IEEE-754，移位应该进行到有效值的最高位的后一位，也就是有效值那里的实际值永远是1.x，也就是在该规则方式下，我们用
来表示带有小数部分的数。x我们称为尾数部分。
在实际的存储中，如果尾数部分长度为m，那么a=m+1，因为1是公有的所以不需要特别去表示它，直接表示x的部分就行了，也因此存在一个隐藏位1。
实际中我们需要经常比较阶数部分，为了方便比较，阶数部分实际存储的值都是阶数E+2^(n-1)-1,阶数部分存储的值我们称为阶码，其范围就变成了[000···000, 111···111]，实际表示的范围[-2^(n-1)+1,2^(n-1)]，这样比较两个浮点数的阶数就很方便了，直接比较的是阶码也就是无符号二进制数。
根据浮点数标准IEEE-754，有两种浮点数，即单精度浮点数和双精度浮点数。
二者的符号位都是1位。单精度的阶码位数有8位，尾数有23位；双精度阶码有11位，尾数有52位。
几个特殊值
浮点数0:尾数全为0，阶码全为0
无穷：尾数全为0，阶码全为1
无效操作数：尾数不全为0，但阶码全为1
因此实际储存中为了正常表示非0浮点数，阶码不能全为1或者0。
浮点数运算
- 移位使得两个数的阶码相等，小阶去对等大阶，不要忘记了隐藏位1。
- 尾数作运算，为了对应可能产生的进位，需要把隐藏位拓展为两位01。
- 将隐藏位恢复为1，化为标准的浮点数
如果阶码减小到全为0，说明结果的指数太小，出现下溢；如果运算后阶码全变成1，说明结果的指数太大出现上溢。